En la charla vamos a considerar funciones definidas sobre complejos poliédricos, la restricción de estas funciones a cada una de las caras del complejo debe ser un polinomio y la función, al igual que sus derivadas, hasta cierto order dado, deben ser continuas sobre todo el complejo. Estas funciones son muy importantes en teoría de la approximación, en análisis numérico, y en el bosquejo y diseño asistido por computadora de curvas, superficies y volúmenes. El estudio de estas funciones conecta varias ramas de las matemáticas, y require una intensa interacción entre la información combinatoria y topológica de la partición, y las propiedades algebraicas y analíticas de las piezas polinomiales. En la charla veremos cómo los ordenes de suavidad de estas funciones pueden ser estudiados como potencias de puntos en el espacio proyectivo, y cómo la información combinatoria de estos puntos conlleva a la formulación de nuevas conjeturas y la demostración de resultados en teoría de la aproximación. La charla está basada en estos dos artículos: arXiv:2005.13043 [math.CO] y arXiv:2007.12274 [math.NA] (M. DiPasquale y N. Villamizar), 2020.