Resumen:

La manera más común de medir un poliedro es calcular su volumen. Otra es calcular el numero de puntos enteros que contiene. Esto es mas difícil de lo que podría parecer, y es el objetivo de la teoría de Ehrhart. Cuando el poliedro P es simetrico, uno puede medir a P con respecto a su grupo de simetrías G. Este es el objetivo de la teoría equivariante de Ehrhart. Esta rama nace de la teoría de representaciones y la geometría algebraica, pero tiene un alto contenido combinatorio. En esta charla describiré cómo medir el permutaedro con respecto a sus simetrías. Este es el politopo cuyos vertices son las n! permutaciones de {1,2,…,n}, y cuyo grupo de permutaciones es el grupo simétrico. La teoría equivariante de Ehrhart del permutaedro es sorprendentemente elegante, y depende delicadamente de propiedades aritméticas de n. Nuestro proyecto responde una pregunta de Stapledon de 2010, y demuestra su Conjetura de Efectividad en este caso especial. Este trabajo es conjunto con mis estudiantes Anna Schindler (SFSU), Mariel Supina (Berkeley), y Andrés Vindas Meléndez (SFSU, Kentucky). La charla será accesible a estudiantes de pregrado sin experiencia previa en combinatoria.